Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 3 [ Сообщений: 22 ] На страницу 1, 2, 3  След.



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: южно-уральская олимпиада
 Сообщение Добавлено: 21 фев 2011, 08:10 
Не в сети

Зарегистрирован: 21 ноя 2010, 12:10
Сообщений: 1055
вчера данная олимпиада закончилась) напишу задания..которые помню))

1) Саша, Вера и Лариса ходили за грибами, Вера собрала на `40%` больше чем Саша, но на `30%` меньше чем Лариса. На сколько Саша собрал меньше `%` грибов чем Лариса

2)Решите уравнение
`sqrt((4^x-3^x)/(x^2+x+1))+sqrt((x^2+x+1)/(4^x-3^x))=sqrt(4x-x^2)`

3)Найдите объем пирамиды `MABCD`, с основанием `ABCD` и вершиной `M` если известны координаты точек:
`A(-4;0;1)` `B(-2;2;1)` `C(4;0;1)` `D(1;-3;1)` `M(4;4;4;)`

4)Докажите, что при `0<x<pi/2`
`(cosx+sinx)^2((cosx)^4+(sinx)^4)>=1`


5)Нарисуйте на координатной плоскости фигуру (и найдите её площадь) ограниченную линиями
`x=-2` `x=2` `y=0` `y=1/2(sqrt(5-x^2+2sqrt(4-x^2))+sqrt(5-x^2-2sqrt(4-x^2)))`

6)Найдет все простые `p`, удовлетворяющие условию и при которых `n` и `m` целые положительные числа
`p^m+1=n^3`

7)В треугольнике `ABC` продолжение медианы `BD` пересекает описанную окружность в точке `E`
Найдите `BD` если `AB=7` `BC=9` `BE=13`

8)Два парохода двигаются с постоянным скоростями по заданным прямолинейным траекториям движения (вроде так там было написано..вообще по прямым двигаются) в `9:00` расстоянием между пароходами было `20` км, в `9:35` `15` км, в `9:55` `13` км. Каким будет наименьшее расстояние между пароходами?

Вот все задачи)) я по своему личному мнению решил ооочень плохо((


Прим. admin. Условия в pdf


Последний раз редактировалось Dragonway 21 фев 2011, 18:13, всего редактировалось 1 раз.

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: южно-уральская олимпиада
 Сообщение Добавлено: 21 фев 2011, 11:10 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 26 авг 2010, 21:23
Сообщений: 2640
Спасибо, за задания! Я когда-то очень активно занимался подгоовкой учеников к олимпиадам всех уровней. Моё личное субъективное мнение: олимпиадная задача тогда чего-то стоит, когда сразу после её прочтения хватаешся за ручку, бумагу, циркуль и тд. В Вашем списке таких задач много! Мой ответ к задаче о треугольнике, вписанном в окружность: BD = 5. Ход рассуждений: BD = x, AD=DC=y. Используя теорему косинусов для треугольников ABD и DCB и подобие треугольников ABD, ECD получил систему:2(x^2+y^2)=7^2 + 9^2; y^2 = x (13 - x)


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: южно-уральская олимпиада
 Сообщение Добавлено: 21 фев 2011, 13:12 
Не в сети
Администратор

Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 5347
Мутотень с целыми числами:
`p^m-1=n^3`
`p^m=n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)`
`{(p^s=n+1),(p^t=n^2-n+1):}, s+t=m`
`n^2-n+1>=n+1` при `n>=2; n=0;` - не подходит, `n=1; -> p=2; m=1`
`p^t/p^s=p^k=(n^2-n+1)/(n+1)=n-2+3/(n+1) in N; n in N; n=0;2`
`n!=0; n=2; p^m=9; p=3`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: южно-уральская олимпиада
 Сообщение Добавлено: 21 фев 2011, 13:22 
Не в сети

Зарегистрирован: 21 ноя 2010, 12:10
Сообщений: 1055
это задание я можно сказать не решал)) просто увидел ответ и подогнал решение хДД которое щас даже повторить наврятли смогу)))


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: южно-уральская олимпиада
 Сообщение Добавлено: 21 фев 2011, 14:17 
Не в сети

Зарегистрирован: 26 окт 2010, 13:57
Сообщений: 1653
Откуда: Татарстан, Красноярск
В задании №4 оценил левую часть `1<1+sin2x<=2` и правую `0.5<=(cosx)^4+(sin(x))^4<1` Минимум в правой части достигается при `pi/4` а в левой же части наоборот будет `max=2` в итоге все это равно `1`, при остальных значений из промежутка значения будут `>1`.
6) нашел единственную пару: `p=7,m=1,n=2`
В 2) привел уравнение к виду `4^x-3^x=(4x+3)(x^3-1)`, не подскажите как действовать дальше?

_________________
Уплыл в страну знаний. Обещаю вернуться.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: южно-уральская олимпиада
 Сообщение Добавлено: 21 фев 2011, 14:34 
Не в сети
Администратор

Зарегистрирован: 10 июн 2010, 15:00
Сообщений: 5347
Про пароходы - ответ 12. Простой задачъ!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: южно-уральская олимпиада
 Сообщение Добавлено: 21 фев 2011, 14:59 
Не в сети

Зарегистрирован: 21 ноя 2010, 12:10
Сообщений: 1055
вторую решал сам как-то необычно для себя, отпишу свое "решение" чуть позже


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: южно-уральская олимпиада
 Сообщение Добавлено: 21 фев 2011, 15:22 
Не в сети

Зарегистрирован: 21 ноя 2010, 12:10
Сообщений: 1055
вообщем моё "решение" второй задачи

всё писать не буду, напишу действия.
найшел ОДЗ: `0<x<=4`
Возвел обе части в квадрат привел левую часть к общему знаменателю

`((4^x-3^x)^2+2(x^2+x+1)(4^x-3^x)+(x^2+x+1)^2)/((x^2+x+1)(4^x-3^x))=4x-x^2`

потом домножил обе части на знаменатель и разделил обе части на `(4^x-3^x)^2`
получил

`1+2((x^2+x+1)/(4^x-3^x))+((x^2+x+1)/(4^x-3^x))^2=(4x-x^2)((x^2+x+1)/(4^x-3^x))`

пусть `(x^2+x+1)/(4^x-3^x)=t` причем `t>0`
получаем квадратное уравнение относительно `t` с параметром `x`
и задача сводится к поиску `x` при котором уравнение имеет решения
итак получили уравнение
`t^2+(2-4x+x^2)t+1=0`
найдем `D` и не забудем условие `D>=0`
`D=x(x-2)^2(x-4)`
заметим, что `D>0` при `x<0` или `x>4` данные значения не входят в ОДЗ исходного уравнения, а значит не могут являться решениями. осталось условие `D=0`. Оно выполняется при `x=0,2,4`
`x=0` тоже не входит в ОДЗ
`t=(-x^2+4x-2)/2` при `x=4` `t<0` значит остается только `x=2` сделав обратную замену и подставиви `x=2` получаем верное равенство, значит `x=2` - единственный корень исходного уравнения
Ответ:`2`
помидорами не кидать))


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: южно-уральская олимпиада
 Сообщение Добавлено: 21 фев 2011, 17:45 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4401
Откуда: Санкт-Петербург
В 5 задаче делаем замену `x=2*cos(t)`.
`y=1`, если `|x|>=sqrt(3)`
`y=sqrt(4-x^2)`- окружность с радиусом 2 ,если `|x|<=sqrt(3)`.

_________________
Сопротивление бесполезно.


Последний раз редактировалось vyv2 21 фев 2011, 18:28, всего редактировалось 3 раз(а).

Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: южно-уральская олимпиада
 Сообщение Добавлено: 21 фев 2011, 17:51 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4401
Откуда: Санкт-Петербург
Dragonway писал(а):
найшел ОДЗ: `0<x<=4`


Правильно

_________________
Сопротивление бесполезно.


Последний раз редактировалось vyv2 21 фев 2011, 18:49, всего редактировалось 2 раз(а).

Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 3 [ Сообщений: 22 ] На страницу 1, 2, 3  След.





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 11

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: