Математика. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач. https://www.alexlarin.com/ | |
южно-уральская олимпиада https://www.alexlarin.com/viewtopic.php?f=4&t=931 |
Страница 1 из 3 |
Автор: | Dragonway [ 21 фев 2011, 08:10 ] |
Заголовок сообщения: | южно-уральская олимпиада |
вчера данная олимпиада закончилась) напишу задания..которые помню)) 1) Саша, Вера и Лариса ходили за грибами, Вера собрала на `40%` больше чем Саша, но на `30%` меньше чем Лариса. На сколько Саша собрал меньше `%` грибов чем Лариса 2)Решите уравнение `sqrt((4^x-3^x)/(x^2+x+1))+sqrt((x^2+x+1)/(4^x-3^x))=sqrt(4x-x^2)` 3)Найдите объем пирамиды `MABCD`, с основанием `ABCD` и вершиной `M` если известны координаты точек: `A(-4;0;1)` `B(-2;2;1)` `C(4;0;1)` `D(1;-3;1)` `M(4;4;4;)` 4)Докажите, что при `0<x<pi/2` `(cosx+sinx)^2((cosx)^4+(sinx)^4)>=1` 5)Нарисуйте на координатной плоскости фигуру (и найдите её площадь) ограниченную линиями `x=-2` `x=2` `y=0` `y=1/2(sqrt(5-x^2+2sqrt(4-x^2))+sqrt(5-x^2-2sqrt(4-x^2)))` 6)Найдет все простые `p`, удовлетворяющие условию и при которых `n` и `m` целые положительные числа `p^m+1=n^3` 7)В треугольнике `ABC` продолжение медианы `BD` пересекает описанную окружность в точке `E` Найдите `BD` если `AB=7` `BC=9` `BE=13` 8)Два парохода двигаются с постоянным скоростями по заданным прямолинейным траекториям движения (вроде так там было написано..вообще по прямым двигаются) в `9:00` расстоянием между пароходами было `20` км, в `9:35` `15` км, в `9:55` `13` км. Каким будет наименьшее расстояние между пароходами? Вот все задачи)) я по своему личному мнению решил ооочень плохо(( Прим. admin. Условия в pdf |
Автор: | VICTORSH [ 21 фев 2011, 11:10 ] |
Заголовок сообщения: | Re: южно-уральская олимпиада |
Спасибо, за задания! Я когда-то очень активно занимался подгоовкой учеников к олимпиадам всех уровней. Моё личное субъективное мнение: олимпиадная задача тогда чего-то стоит, когда сразу после её прочтения хватаешся за ручку, бумагу, циркуль и тд. В Вашем списке таких задач много! Мой ответ к задаче о треугольнике, вписанном в окружность: BD = 5. Ход рассуждений: BD = x, AD=DC=y. Используя теорему косинусов для треугольников ABD и DCB и подобие треугольников ABD, ECD получил систему:2(x^2+y^2)=7^2 + 9^2; y^2 = x (13 - x) |
Автор: | admin [ 21 фев 2011, 13:12 ] |
Заголовок сообщения: | Re: южно-уральская олимпиада |
Мутотень с целыми числами: `p^m-1=n^3` `p^m=n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)` `{(p^s=n+1),(p^t=n^2-n+1):}, s+t=m` `n^2-n+1>=n+1` при `n>=2; n=0;` - не подходит, `n=1; -> p=2; m=1` `p^t/p^s=p^k=(n^2-n+1)/(n+1)=n-2+3/(n+1) in N; n in N; n=0;2` `n!=0; n=2; p^m=9; p=3` |
Автор: | Dragonway [ 21 фев 2011, 13:22 ] |
Заголовок сообщения: | Re: южно-уральская олимпиада |
это задание я можно сказать не решал)) просто увидел ответ и подогнал решение хДД которое щас даже повторить наврятли смогу))) |
Автор: | Alek [ 21 фев 2011, 14:17 ] |
Заголовок сообщения: | Re: южно-уральская олимпиада |
В задании №4 оценил левую часть `1<1+sin2x<=2` и правую `0.5<=(cosx)^4+(sin(x))^4<1` Минимум в правой части достигается при `pi/4` а в левой же части наоборот будет `max=2` в итоге все это равно `1`, при остальных значений из промежутка значения будут `>1`. 6) нашел единственную пару: `p=7,m=1,n=2` В 2) привел уравнение к виду `4^x-3^x=(4x+3)(x^3-1)`, не подскажите как действовать дальше? |
Автор: | admin [ 21 фев 2011, 14:34 ] |
Заголовок сообщения: | Re: южно-уральская олимпиада |
Про пароходы - ответ 12. Простой задачъ! |
Автор: | Dragonway [ 21 фев 2011, 14:59 ] |
Заголовок сообщения: | Re: южно-уральская олимпиада |
вторую решал сам как-то необычно для себя, отпишу свое "решение" чуть позже |
Автор: | Dragonway [ 21 фев 2011, 15:22 ] |
Заголовок сообщения: | Re: южно-уральская олимпиада |
вообщем моё "решение" второй задачи всё писать не буду, напишу действия. найшел ОДЗ: `0<x<=4` Возвел обе части в квадрат привел левую часть к общему знаменателю `((4^x-3^x)^2+2(x^2+x+1)(4^x-3^x)+(x^2+x+1)^2)/((x^2+x+1)(4^x-3^x))=4x-x^2` потом домножил обе части на знаменатель и разделил обе части на `(4^x-3^x)^2` получил `1+2((x^2+x+1)/(4^x-3^x))+((x^2+x+1)/(4^x-3^x))^2=(4x-x^2)((x^2+x+1)/(4^x-3^x))` пусть `(x^2+x+1)/(4^x-3^x)=t` причем `t>0` получаем квадратное уравнение относительно `t` с параметром `x` и задача сводится к поиску `x` при котором уравнение имеет решения итак получили уравнение `t^2+(2-4x+x^2)t+1=0` найдем `D` и не забудем условие `D>=0` `D=x(x-2)^2(x-4)` заметим, что `D>0` при `x<0` или `x>4` данные значения не входят в ОДЗ исходного уравнения, а значит не могут являться решениями. осталось условие `D=0`. Оно выполняется при `x=0,2,4` `x=0` тоже не входит в ОДЗ `t=(-x^2+4x-2)/2` при `x=4` `t<0` значит остается только `x=2` сделав обратную замену и подставиви `x=2` получаем верное равенство, значит `x=2` - единственный корень исходного уравнения Ответ:`2` помидорами не кидать)) |
Автор: | vyv2 [ 21 фев 2011, 17:45 ] |
Заголовок сообщения: | Re: южно-уральская олимпиада |
В 5 задаче делаем замену `x=2*cos(t)`. `y=1`, если `|x|>=sqrt(3)` `y=sqrt(4-x^2)`- окружность с радиусом 2 ,если `|x|<=sqrt(3)`. |
Автор: | vyv2 [ 21 фев 2011, 17:51 ] |
Заголовок сообщения: | Re: южно-уральская олимпиада |
Dragonway писал(а): найшел ОДЗ: `0<x<=4` Правильно |
Страница 1 из 3 | Часовой пояс: UTC + 3 часа |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |