Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Олимпиады » Математика




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Решение заданий первого тура олимпиады формула единства.
 Сообщение Добавлено: 23 окт 2014, 02:17 
Не в сети

Зарегистрирован: 23 окт 2014, 01:11
Сообщений: 2
Недавно закончился первый тур олимпиады "формула единства". Условия задач - в прикреплённом файле.
Подробности:

Задачи этого заочного тура весьма несложные, но довольно красивые и поучительные (так как освещают довольно стандартные и важные олимпиадные темы).

Особенно интересными лично мне показались задачи 7 и 8 11-го класса.

Седьмая задача - использует рекуррентные соотношения и арифметику остатков. Решается совершенно аналогично известной задаче об N*2, где в ответе получаются числа Фибоначчи.

Восьмая задача - хорошая комбинаторная задача, на мой взгляд самая сложная задача этой олимпиады, остальные вроде бы заметно проще.
Подробности:
Здесь для оценки вероятности нужно подсчитать количество возможных прогрессий, составленных тройками чисел. Вначале для простоты можно рассмотреть, что N - чётное число. Тогда это количество S будет равно
`S = N + 3! * 2*((N/2 - 1) + (N/2 - 2) + ... + 2 + 1 + 0) = N + 12*(N/2)*(N/2 - 1)/2 = - 2*N + 1.5*N^2 `

Так, например, в случае N = 4 число таких комбинаций очевидно будет равно 16 (4 прогрессии с нулевой разницей и две прогрессии (1,2,3) и (2,3,4), на которые приходится по 3! = 6 наборов чисел). Подстановка в формулу даёт тот же ответ.
Также легко проверить при N = 6 - получается `6+6*(2+4) = 42` (6 прогрессий с d = 0, 4 с d = 1 и 2 с d = 2).

Для нечётного N можно использовать соображения для чётного (N-1) - именно столько будет среди чисел 2,3,4...N. Добавив возможность выбирать ещё и единицу, мы добавляем автоматически 1 прогрессию с нулевой разностью, и (N-1)/2 с ненулевой разницей. Отсюда
`S = -2*(N-1) + 1.5*(N-1)^2 + 1 + 3*(N - 1) = - 2*N + 1.5*N^2 + 1.5 `

Например, при N = 5 получается 29, что согласуется с прямым подсчётом (5 прогрессий нулевой разницы, 3 прогрессии единичной и 1 прогрессия разности 2).
При N = 7, S = 61 также согласуются (там 7 прогрессий нулевой разницы и 9 ненулевой 123, 234, 345, 567, 135, 246, 357, 147), в итоге `S = 7 + 6*9 = 61`.

Так как всего троек чисел из N можно выбрать N^3, то вероятность равна S/N^3.

Ещё также немного позабавила задача 10, несмотря на свою простоту. Она использует тривиальное соображение, что нечётное число делителей может быть только у точного квадрата, однако в таком замаскированном виде задача выглядит менее очевидной и более интересной. Думаю, её следовало бы давать школьникам при изучении темы "делимость".

Итак, кто хотел бы ещё какие задачи обсудить или предложить необычные решения?


Вложения:
FdI-TM-15-1-russian.pdf [76.2 KIB]
Скачиваний: 958
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Решение заданий первого тура олимпиады формула единства.
 Сообщение Добавлено: 23 окт 2014, 11:22 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 26 авг 2010, 21:23
Сообщений: 2834
:text-bravo: Спасибо Игорь Андреевич за открытие этой темы! Вы меня слегка опередили. Но это даже замечательно!
У меня есть интересные идеи по некоторым из этих заданий. Поделюсь как только, так сразу!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Решение заданий первого тура олимпиады формула единства.
 Сообщение Добавлено: 23 окт 2014, 12:05 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 26 авг 2010, 21:23
Сообщений: 2834


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Задача про землекопов.
 Сообщение Добавлено: 24 окт 2014, 14:18 
Не в сети

Зарегистрирован: 23 окт 2014, 01:11
Сообщений: 2
Разберу здесь задачу про землекопов. Отмечу сразу, что мне представляется весьма странным, что нужно найти решение в целых числах, так как эта задача имеет единственное решение. Возможно, это ключ к более простому решению задачи. Тем не менее приведу общую схему для любых чисел.

Подробности:
Пусть все трое вместе завершат свою работу за x дней. Обозначим количество дней, требуемое каждому из землекопов за работу в одиночку, за x1, x2 и x3 соответственно. Тогда скорости работы землекопов будут v1, v2, v3, а при совместной работе они складываются:
`v1 = 1/(x1) ; v2 = 1/(x2) ; v2 = 1/(x3) ; v1+v2+v2 = 1/x; v1+v2 = 1/(x+10) ; v2+v3 = 1/(x+2); v1+v3 = 1/(x+5)`

Складывая последние три уравнения, получаем:

`2/x = 1/(x+10) + 1/(x+2) + 1/(x+5) ; 2*(x+2)*(x+5)*(x+10) = x*((x+2)*(x+5)+ (x+5)*(x+10) + (x+2)*(x+10)) `

Собирая подобные слагаемые, получаем:

`(2-3)*x^3 + x^2*(2*(2+5+10) - 2 - 5 - 5 - 10 - 2 - 10) + x*(2*(2*5+5*10+2*10) - 2*5 - 5*10 - 2*10) + 2*2*5*10 = 0`
`-x^3 + 80*x + 200 = 0 `

Это уравнение имеет легко угадываемый корень х = 10. Делим по схеме Горнера на многочлен (x-10), в итоге получается:

`-x^3 + 80*x + 200 = -(x^2 + 10*x+20)*(x-10) = 0`

У квадратного трёхчлена отрицательные корни, поэтому они нам не подходят. Значит есть единственное решение х = 10. Тогда самый медленный будет первый, его скорость работы равна `v1 = 1/10 - 1/12 = 1/60` , значит ему нужно 60 дней.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Решение заданий первого тура олимпиады формула единства.
 Сообщение Добавлено: 30 окт 2014, 14:18 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 26 авг 2010, 21:23
Сообщений: 2834
Игорь! Спасибо за решение! :text-bravo:
Народ ( по меньшей мере в моём лице) ждет разбора и других заданий этого турнира!
Да и за номер 21 из ТР-89 тоже бы неплохо взяться как следует!
Дерзай!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: