Недавно закончился первый тур олимпиады "формула единства". Условия задач - в прикреплённом файле.
Подробности:
Задачи этого заочного тура весьма несложные, но довольно красивые и поучительные (так как освещают довольно стандартные и важные олимпиадные темы).
Особенно интересными лично мне показались задачи 7 и 8 11-го класса.
Седьмая задача - использует рекуррентные соотношения и арифметику остатков. Решается совершенно аналогично известной задаче об N*2, где в ответе получаются числа Фибоначчи.
Восьмая задача - хорошая комбинаторная задача, на мой взгляд самая сложная задача этой олимпиады, остальные вроде бы заметно проще.
Подробности:
Здесь для оценки вероятности нужно подсчитать количество возможных прогрессий, составленных тройками чисел. Вначале для простоты можно рассмотреть, что N - чётное число. Тогда это количество S будет равно `S = N + 3! * 2*((N/2 - 1) + (N/2 - 2) + ... + 2 + 1 + 0) = N + 12*(N/2)*(N/2 - 1)/2 = - 2*N + 1.5*N^2 `
Так, например, в случае N = 4 число таких комбинаций очевидно будет равно 16 (4 прогрессии с нулевой разницей и две прогрессии (1,2,3) и (2,3,4), на которые приходится по 3! = 6 наборов чисел). Подстановка в формулу даёт тот же ответ. Также легко проверить при N = 6 - получается `6+6*(2+4) = 42` (6 прогрессий с d = 0, 4 с d = 1 и 2 с d = 2).
Для нечётного N можно использовать соображения для чётного (N-1) - именно столько будет среди чисел 2,3,4...N. Добавив возможность выбирать ещё и единицу, мы добавляем автоматически 1 прогрессию с нулевой разностью, и (N-1)/2 с ненулевой разницей. Отсюда `S = -2*(N-1) + 1.5*(N-1)^2 + 1 + 3*(N - 1) = - 2*N + 1.5*N^2 + 1.5 `
Например, при N = 5 получается 29, что согласуется с прямым подсчётом (5 прогрессий нулевой разницы, 3 прогрессии единичной и 1 прогрессия разности 2). При N = 7, S = 61 также согласуются (там 7 прогрессий нулевой разницы и 9 ненулевой 123, 234, 345, 567, 135, 246, 357, 147), в итоге `S = 7 + 6*9 = 61`.
Так как всего троек чисел из N можно выбрать N^3, то вероятность равна S/N^3.
Ещё также немного позабавила задача 10, несмотря на свою простоту. Она использует тривиальное соображение, что нечётное число делителей может быть только у точного квадрата, однако в таком замаскированном виде задача выглядит менее очевидной и более интересной. Думаю, её следовало бы давать школьникам при изучении темы "делимость".
Итак, кто хотел бы ещё какие задачи обсудить или предложить необычные решения?
Спасибо Игорь Андреевич за открытие этой темы! Вы меня слегка опередили. Но это даже замечательно! У меня есть интересные идеи по некоторым из этих заданий. Поделюсь как только, так сразу!
VICTORSH
Заголовок сообщения: Re: Решение заданий первого тура олимпиады формула единства.
Разберу здесь задачу про землекопов. Отмечу сразу, что мне представляется весьма странным, что нужно найти решение в целых числах, так как эта задача имеет единственное решение. Возможно, это ключ к более простому решению задачи. Тем не менее приведу общую схему для любых чисел.
Подробности:
Пусть все трое вместе завершат свою работу за x дней. Обозначим количество дней, требуемое каждому из землекопов за работу в одиночку, за x1, x2 и x3 соответственно. Тогда скорости работы землекопов будут v1, v2, v3, а при совместной работе они складываются: `v1 = 1/(x1) ; v2 = 1/(x2) ; v2 = 1/(x3) ; v1+v2+v2 = 1/x; v1+v2 = 1/(x+10) ; v2+v3 = 1/(x+2); v1+v3 = 1/(x+5)`
Это уравнение имеет легко угадываемый корень х = 10. Делим по схеме Горнера на многочлен (x-10), в итоге получается:
`-x^3 + 80*x + 200 = -(x^2 + 10*x+20)*(x-10) = 0`
У квадратного трёхчлена отрицательные корни, поэтому они нам не подходят. Значит есть единственное решение х = 10. Тогда самый медленный будет первый, его скорость работы равна `v1 = 1/10 - 1/12 = 1/60` , значит ему нужно 60 дней.
VICTORSH
Заголовок сообщения: Re: Решение заданий первого тура олимпиады формула единства.
Игорь! Спасибо за решение! Народ ( по меньшей мере в моём лице) ждет разбора и других заданий этого турнира! Да и за номер 21 из ТР-89 тоже бы неплохо взяться как следует! Дерзай!
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения