Еще раз о Задаче 27_4 Попробовал решить задачу о движении заряженной частицы в полях, описанных в этой задаче, при начальной скорости влета `v_0`, отличной от равновесной скорости `V`: `(V=E/B)` Оказывается, задача имеет довольно простое аналитическое решение, и странно, что такая задача не попалась мне ранее ни в школе, ни в институте. Желающим рекомендую решить эту задачу - получите удовольствие (я, по крайней мере, получил и удовольствие от решения, и новое знание).
aleph
Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ по Физике 11.06.2021 г.
Кажется, удалось выписать зависимость `v_{x}(t)` и `v_{y}(t)`: `{(v_{x}(t)=\frac{qE}{m}t-\frac{qB}{m}y),(v_{y}(t)=v_{0}+\frac{qB}{m}x):}` Использовал: `x(0)=y(0)=0,quadv_{x}(0)=0,v_{y}(0)=v_{0}`. Из этого, я думаю, можно развить какую-то кинематику движения частицы...
Вложение:
27_4_2.png [ 40.96 KIB | Просмотров: 3919 ]
ar54
Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ по Физике 11.06.2021 г.
... Кажется, удалось выписать зависимость `v_{x}(t)` и `v_{y}(t)`:
Подробности:
`{(v_{x}(t)=\frac{qE}{m}t-\frac{qB}{m}y),(v_{y}(t)=v_{0}+\frac{qB}{m}x):}` Использовал: `x(0)=y(0)=0,quadv_{x}(0)=0,v_{y}(0)=v_{0}`. Из этого, я думаю, можно развить какую-то кинематику движения частицы...
Начало положено - очень хорошо!
Подробности:
Как мне представляется, Вы записали 2-ой закон Ньютона в проекциях на оси декартовой системы координат: `{((dv_x)/(dt)=(qE)/m-(qB)/m v_y),((dv_y)/(dt)=(qB)/m v_x):}` Затем домножили каждое уравнение на `dt`, и проинтегрировали (использовали определения скорости `v_x=(dx)/(dt),quad v_y=(dy)/(dt)`): `{(dv_x=(qE)/m dt-(qB)/mdy),(dv_y=(qB)/m dx):}` `quad=>quad` `{(v_x(t)=(qE)/m t-(qB)/my(t)),(v_y(t)=v_0+(qB)/mx(t) ):}` К сожалению, неизвестные скорости выразили через неизвестные же координаты! Начнем сначала. Имеем систему дифференциальных уравнений для проекций скоростей: `{((dv_x)/(dt)=omega*(V-v_y)),((dv_y)/(dt)=omega*v_x):}quad (1)` с начальными условиями: `{(v_x(0)=0),(v_y(0)=v_0):}quad (2)` Здесь для упрощения записи вводятся параметры задачи: величина `omega`, имеющая размерность частоты, и равновесная скорость `V`: `omega=(qB)/m;quad V=E/B qquad (3)` Уточняем: необходимо найти такие две функции времени `v_x(t)`, `v_y(t)`, удовлетворяющие системе уравнений (1) и начальным условиям (2). Решение таких задач излагается в курсе систем обыкновенных дифференциальных уравнений, изучаемом в высшей школе. Но можно попытаться действовать по аналогии с решением систем алгебраических уравнений, изучаемых в школьном курсе математики. А именно, надо исключить одну из неизвестных функций, получив одно дифференциальное уравнение для другой неизвестной функции. Например, исключаем из системы скорость `v_x(t)`. Получаем дифференциальное уравнение относительно неизвестной `v_y(t)`. Дополнительно выписываем начальные условия для `v_y`. Какое уравнение получилось? Умеем ли мы его решать? P.S. aleph, спасибо за рисунок!
aleph
Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ по Физике 11.06.2021 г.
Какое уравнение получилось? Умеем ли мы его решать?
Можно получить такое уравнение: `\frac{d^{2}v_{y}}{dt^{2}}+omega^{2}v_{y}=omega^{2}V`. Такое решать, кажется, не умеем (вроде бы тут может помочь подстановка `\frac{dv_{y}}{dt}=varphi(v_{y}(t))quad=>\frac{d^{2}v_{y}}{dt^{2}}=\frac{dvarphi}{dv_{y}}\cdot\frac{dv_{y}}{dt}=varphi^{'}\cdotvarphi`).
eduhelper
Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ по Физике 11.06.2021 г.
В 2017 г. на форуме рассматривался вопрос о движении заряженной частицы в скрещенных полях. Выкладывались файлы для школьников и студентов. viewtopic.php?f=187&t=15090&start=40 P.S. Выкладывался файл для случая релятивистской частицы... но я его почему то не нашел...
_________________ Цель ничто - движение все.
ar54
Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ по Физике 11.06.2021 г.
Какое уравнение получилось? Умеем ли мы его решать?
Можно получить такое уравнение: `\frac{d^{2}v_{y}}{dt^{2}}+omega^{2}v_{y}=omega^{2}V`. Такое решать, кажется, не умеем (вроде бы тут может помочь подстановка `\frac{dv_{y}}{dt}=varphi(v_{y}(t))quad=>\frac{d^{2}v_{y}}{dt^{2}}=\frac{dvarphi}{dv_{y}}\cdot\frac{dv_{y}}{dt}=varphi^{'}\cdotvarphi`).
Замечательно, aleph! Получилось неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка, которое можно записать в виде: `ddot(v)_y+omega^2(v_y-V)=0` Напрашивается замена переменных: `u(t)=v_y(t)-V`, после чего получается уравнение, которое Вы (вместе с Черноуцаном, замечательно изложившем тему колебаний в Кванте) уже умеете решать? Конечно, для однозначности ответа необходимо удовлетворить начальным условиям : `v_y(0)=v_0;quad dot(v)_y(0)=???` Ну а затем найти `v_x(t)`, а потом координаты `x(t), quad y(t)` (видимо, проще всего прямым интегрированием уравнений - определений проекций скоростей `dx=v_x(t) dt; dy=v_y(t) dt` ?)
ar54
Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ по Физике 11.06.2021 г.
В 2017 г. на форуме рассматривался вопрос о движении заряженной частицы в скрещенных полях. Выкладывались файлы для школьников и студентов. viewtopic.php?f=187&t=15090&start=40 P.S. Выкладывался файл для случая релятивистской частицы... но я его почему то не нашел...
Анатолий Васильевич! Ну совершенно не вспоминается, что читал пособие Бойченко 4 года назад! Обычно я понравившиеся мне материалы скачиваю себе в библиотеку литературы. Почему-то пособие (для 10-го класса!) Бойченко у меня нет. Просмотрел сейчас его бегло. Показалось, что уровень изложения материала излишне усложнен (намного сложнее уровня ЗФТШ), и с трудом воспринимается. Неужели в этой Курчатовской школе в 10-м классе сплошь одни вундеркинды, что могут усваивать такое изложение темы? - Что-то мне не верится . P.S. Нашел изложение темы о движении частицы в скрещенных полях в супер-пособии: Бутиков, Быков, Кондратьев "Физика для поступающих в вузы" - читается замечательно!
eduhelper
Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ по Физике 11.06.2021 г.
... Ну совершенно не вспоминается, что читал пособие Бойченко 4 года назад...
А я утверждаю, что А.Д, "читал" это пособие 4 года назад... Для улыбки: позволю предположить что в свое время Вы Александр Дмитриевич, "открывали" книгу Теория поля Ландау Л.Д , Лифшиц Е.М. https://1lib.education/book/3205452/697 ... ret=697d0e Возможно глаза доходили до главы 3 и в частности до параграфа 22 (да и в целом в этой книге на мой взгляд, достаточно много полезного). Но ясно, что это в первый раз, произошло уж точно более четырех лет назад (думаю порядка четырех десятилетий назад..) При изучении курса Теоретической Физики лекторы большинства вузов, излагали материал в определенном приближении к многотомнику вышеуказанных авторов... P.S. 1) Так и не нашел на сайте Ларина размещенный файл о релятивистском случае движения. Поэтому размещаю статью из журнала технической физики. (Материал выходит довольно далеко за уровень нашего сайта...) 2) Согласен, что изложение в указанной Вами книге Бутиков, Быков, Кондратьев "Физика для поступающих в вузы" достаточно последовательно и будет полезно как для школьников, так и для студентов.
Значит, `{(ddot(v)_y+omega^2(v_y-V)=0),(v_y(t)=u(t)+V),(ddot(v)_y=ddotu):} <=> ddotu+omega^2u=0<=>u(t)=Acos(omegat+alpha),quadA,alpha-const.` Вспомним, что задача решается при начальных условиях : `{(v_x(0)=0),(v_y(0)=v_0),(dotv_{y}(0)=omegav_{x}(0)=0):}quad=>quad{(u(0)=v_{0}-V),(dotu(0)=0.):}` Это поможет определить константы `A` и `alpha`. `u(0)=v_{0}-V quad => quad Acosalpha=v_{0}-V`, `dotu(0)=0 quad => quadAsinalpha=0`. Поэтому `u(t)=Acosomegatcosalpha-Asinomegatsinalpha=(v_{0}-V)cosomegat quad<=>quad v_{y}(t)=(v_{0}-V)cosomegat+V`. И наконец, `intd(y(t))=intv_{y}(t)dt=int((v_{0}-V)cosomegat+V)dt=(v_{0}-V)/omegaintcos(omegat)d(omegat)+intVdtquad=>quady(t)=(v_{0}-V)/omegasinomegat+Vt+C_1`; `intd(x(t))=intv_{x}(t)dt=int(omegaVt-omegay(t))dt=-(v_{0}-V)/omegaintsin(omegat)d(omegat)quad=>quadx(t)=(v_{0}-V)/omegacosomegat+C_2`. Полагая `x(0)=y(0)=0`, легко убедиться что `C_1=0,quadC_2=-(v_{0}-V)/omega`.
Вывод: в скрещенных электрическом и магнитном полях, при заданных нами начальных условиях, заряженная частица будет двигаться по кривой, задаваемой системой уравнений `{(x(t)=(v_{0}-V)/omegacosomegat-(v_{0}-V)/omega),(y(t)=(v_{0}-V)/omegasinomegat+V/(omega)\cdotomegat.):}`
eduhelper
Заголовок сообщения: Re: ЕГЭ по Физике 11.06.2021 г.
Для еще более широкой улыбки, старинный анекдот: На конечной станции кондуктор осматривает вагоны и в одном видит на лавочке заснувшего студента, а рядом лежит книжка Ландау "Теория поля". Кондуктор будит студента: "Ну вставай, агроном, приехали!"
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения