Условие задачиСоставители предлагают схему численного решения уравнения
`(dT)/dt=-k(T-T_{0})\qquad(1)`,
которая достаточно понятна. Стало интересно найти точное решение. Попробую это сделать.
Итак, перепишем уравнение `(1)` в виде
`(dT)/dt+kT=kT_0\qquad(2)`.
Дифференцируем `(2)` по времени и объявляем новую переменную `u(t)=dotT`. Получим дифференциальное уравнение с новой переменной
`dotu=-ku\qquad(3)`.
Решением уравнения `(3)` будет функция
`u(t)=Cexp(-kt)`, где `C` - некоторая константа.
Проверить, что найденная функция является решением, можно непосредственным дифференцированием, а также об этом можно прочитать, например, в параграфе 1 книги из серии
Знакомство с высшей математикой, Дифференциальные уравнения и их приложения. Л. С. Понтрягин. Наука, 1988.Константу `C` найдем, полагая `T(0)=T_{\text{нач}}`, где `T_{\text{нач}}` - температура нагретого тела перед началом наблюдения (в условии задачи равна `200^{@}C`). После несложных преобразований можно, наконец, выписать искомую зависимость `T=T(t)`:
`T(t)=T_{0}+(T_{\text\{нач}}-T_{0})\cdotexp(-kt)`.
Рассуждения о погрешности результатов: