Математика. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач. https://www.alexlarin.com/ | |
Дифференциальное уравнение в №27 тренировочного варианта https://www.alexlarin.com/viewtopic.php?f=184&t=17345 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | aleph [ 04 авг 2021, 22:37 ] |
Заголовок сообщения: | Дифференциальное уравнение в №27 тренировочного варианта |
Условие задачи Подробности: Составители предлагают схему численного решения уравнения `(dT)/dt=-k(T-T_{0})\qquad(1)`, которая достаточно понятна. Стало интересно найти точное решение. Попробую это сделать. Итак, перепишем уравнение `(1)` в виде `(dT)/dt+kT=kT_0\qquad(2)`. Дифференцируем `(2)` по времени и объявляем новую переменную `u(t)=dotT`. Получим дифференциальное уравнение с новой переменной `dotu=-ku\qquad(3)`. Решением уравнения `(3)` будет функция `u(t)=Cexp(-kt)`, где `C` - некоторая константа. Проверить, что найденная функция является решением, можно непосредственным дифференцированием, а также об этом можно прочитать, например, в параграфе 1 книги из серии Знакомство с высшей математикой, Дифференциальные уравнения и их приложения. Л. С. Понтрягин. Наука, 1988. Константу `C` найдем, полагая `T(0)=T_{\text{нач}}`, где `T_{\text{нач}}` - температура нагретого тела перед началом наблюдения (в условии задачи равна `200^{@}C`). После несложных преобразований можно, наконец, выписать искомую зависимость `T=T(t)`: `T(t)=T_{0}+(T_{\text\{нач}}-T_{0})\cdotexp(-kt)`. Рассуждения о погрешности результатов: Подробности: |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |