В решении рассматриваю две ситуации: с перемычкой и без неё. В обоих случаях батареи конденсаторов свожу к одному конденсатору с эквивалентной ёмкостью.
......
`C_{\text{экв}}^{(1)}=\frac{7C}{6}`
`C_{\text{экв}}^{(2)}=\frac{6C}{5}`
Тогда заряд, протекший через источник в первом случае, будет равен `C_{\text{экв}}^{(1)}U_{0}`, а во втором - `C_{\text{экв}}^{(2)}U_{0}`.
Наличие перемычки увеличивает емкость батареи, что вызывает протекание добавочного заряда `Deltaq`. Величину его можем найти по формуле `(C_{\text{экв}}^{(2)}-C_{\text{экв}}^{(1)})U_{0}`.
Ответ: `\frac{1}{30}CU_{0}`.
Годятся рассуждения?

Решаю.

Произвольно расставим знаки зарядов обкладок. Примем `phi_{C}=0`, тогда `phi_{D}=U_{0}`.
По закону сохранения заряда запишем для узла `A`:
`-(U_{0}-phi_{A})C+phi_{A}C+(phi_{A}-phi_{B})C-U_{1}C=0` (1)

То же для узла `B`:
`-(U_{0}-phi_{B})C+phi_{B}2C-(phi_{A}-phi_{B})C+U_{1}C=0` (2)
Решая уравнения (1) и (2) совместно, заключаем, что `phi_{B}=\frac{2}{11}(2U_{0}-U_{1})`.
Тогда заряд на конденсаторе, ёмкостью `2C` будет равен `2С\cdot(phi_{B}-phi_{С})=\frac{4}{11}C\cdot(2U_{0}-U_{1})`.