Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Интересные задачки » Разное




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: А решается ли это наивными школьными методами?
 Сообщение Добавлено: 29 июл 2023, 22:12 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1940
`x+y+z=1; x^2+y^2+z^2=2.` Найти минимум и максимум `x^3+y^3+z^3`.

Конечно все переменные действительные, иначе и искать нечего.

Так вот - решается ли это совсем наивно? Угадать ненаивно ответ и доказать его верность - нормальный ход, но будем считать его читерством.

UPD. Решение должно быть не просто наивным, но и без долгих и нудных вычислений. Знаю почти устное решение, но не уверен, что его можно назвать наивным. Озвучу через некоторое время, если кто-то не успеет раньше или лучше.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: А решается ли это наивными школьными методами?
 Сообщение Добавлено: 30 июл 2023, 13:24 
В сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 2024
Откуда: Ставрополь
Я не знаю, как изящно решить эту задачу, но просто решить можно так:

Подробности:


Вложения:
2023-07-30 (от alex123) - 001.pdf [101.85 KIB]
Скачиваний: 372
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: А решается ли это наивными школьными методами?
 Сообщение Добавлено: 30 июл 2023, 16:27 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1940
hpbhpb писал(а):
Я не знаю, как изящно решить эту задачу, но просто решить можно так:

Подробности:



Тоже красиво!

Мой вариант похож, но немного с другого бока, поэтому все же выложу:

Подробности:
1. Оставаясь в ваших обозначениях, `e_3` принимает все значения на отрезке `[min(e_3), max(e_3)]`. Просто потому, что `e_3` непрерывная функция трех аргументов на окружности, полученной пересечением плоскости и шара из условия.

Для придирчивого проверяющего можно сказать, что окружность параметризуется одним действительным параметром, например углом на отрезке `[0,2pi]`, `e_3` - непрерывная функция от этого угла, значит образ отрезка - отрезок.

2. `D=((x-y)(x-z)(y-z))^2` - дискриминант нашего кубического уравнения. Он неотрицателен, так как `x,y,z` - действительные числа. Забудем про действительность `x,y,z`, тогда `e_3` сможет принимать любые действительные значения, но дискриминант будет строго отрицателен вне отрезка `[min(e_3), max(e_3)]`, просто потому, что одно из чисел действительное, а два других - комплексно-сопряженные.

3. Дискриминант - непрерывная функция от `e_3`, значит он обязан обращаться в ноль на концах отрезках `[min(e_3), max(e_3)]`.

4. Наша сумма кубов `S=const+3e_3`, значит ее минимум и максимум достигаются при минимуме и максимуме `e_3`.

5. Минимум и максимум `e_3` порождает нулевой дискриминант, то есть кратные корни. Осталось решить систему `x+2y=1; x^2+2y^2=2` - она и даст нам оптимальные точки.

6. После этого S можно посчитать либо прямой подстановкой, либо вычислением константы `2,5` и `e_3=xyz` и применением формулы `S=const+3e_3`. При этом константа прекрасно вычисляется и без знания тождеств Ньютона, прямыми операциями с симметрическими многочленами.

7. И да, это читерство в моих обозначениях. Я вначале понял из Лагранжиана, что в оптимуме обязаны совпадать два числа из трех, а потом уже придумал, как это доказать без него.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: А решается ли это наивными школьными методами?
 Сообщение Добавлено: 30 июл 2023, 16:32 
В сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 2024
Откуда: Ставрополь
Спасибо, alex123, за прекрасную задачу и за красивое решение!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: А решается ли это наивными школьными методами?
 Сообщение Добавлено: 30 июл 2023, 16:41 
Не в сети

Зарегистрирован: 16 фев 2011, 14:13
Сообщений: 1940
hpbhpb писал(а):
Спасибо, alex123, за прекрасную задачу и за красивое решение!


Да не за что. Я кое-что в ЛС написал, если сочтете нужным - можете сюда скопировать любую часть написанного.


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: