1. Оставаясь в ваших обозначениях, `e_3` принимает все значения на отрезке `[min(e_3), max(e_3)]`. Просто потому, что `e_3` непрерывная функция трех аргументов на окружности, полученной пересечением плоскости и шара из условия.

Для придирчивого проверяющего можно сказать, что окружность параметризуется одним действительным параметром, например углом на отрезке `[0,2pi]`, `e_3` - непрерывная функция от этого угла, значит образ отрезка - отрезок.

2. `D=((x-y)(x-z)(y-z))^2` - дискриминант нашего кубического уравнения. Он неотрицателен, так как `x,y,z` - действительные числа. Забудем про действительность `x,y,z`, тогда `e_3` сможет принимать любые действительные значения, но дискриминант будет строго отрицателен вне отрезка `[min(e_3), max(e_3)]`, просто потому, что одно из чисел действительное, а два других - комплексно-сопряженные.

3. Дискриминант - непрерывная функция от `e_3`, значит он обязан обращаться в ноль на концах отрезках `[min(e_3), max(e_3)]`.

4. Наша сумма кубов `S=const+3e_3`, значит ее минимум и максимум достигаются при минимуме и максимуме `e_3`.

5. Минимум и максимум `e_3` порождает нулевой дискриминант, то есть кратные корни. Осталось решить систему `x+2y=1; x^2+2y^2=2` - она и даст нам оптимальные точки.

6. После этого S можно посчитать либо прямой подстановкой, либо вычислением константы `2,5` и `e_3=xyz` и применением формулы `S=const+3e_3`. При этом константа прекрасно вычисляется и без знания тождеств Ньютона, прямыми операциями с симметрическими многочленами.

7. И да, это читерство в моих обозначениях. Я вначале понял из Лагранжиана, что в оптимуме обязаны совпадать два числа из трех, а потом уже придумал, как это доказать без него.