Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Физтех 2022-2023 (математика, 11 класс)
 Сообщение Добавлено: 07 дек 2022, 22:43 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53
Сообщений: 1625
Откуда: Москва
Недавно завершился отборочный этап Физтеха. Предлагаю решить несколько задач оттуда.

1. Последовательность $\{a_n\}$ такова, что $a_1=8866411$, а для любого натурального значения $n$ справедливо соотношение
$$a_1+a_2+\ldots+a_n=\frac{n(3n-2)(3n+5)a_n}8.$$
Найдите $a_{508}$.

2. Найдите количество различных значений функции
$$f(x)=[15x]+[21x]+[35x]+[45x]+\left[\frac{4x}3\right]$$
на отрезке $x\in[0; 75]$. (Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ - наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1,7]=1$, $[-1,7]=-2$.)

3. Найдите сумму квадратов всех решений уравнения $x^2-10[5x]-51=0$. (Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ - наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1,7]=1$, $[-1,7]=-2$.)

4. По шоссе в обоих направлениях с одинаковыми интервалами ходят рейсовые автобусы (скорости движения автобусов одинаковы). Пешеход идёт по обочине шоссе со скоростью 6 км/ч и замечает, что автобусы навстречу попадаются через каждые 2,8 километра, а автобусы, едущие в том же направлении, в котором он идёт, обгоняют его каждые 34,72 минуты. Определите скорость движения автобусов. Ответ выразите в километрах в час. Считаем, что человек и автобусы движутся равномерно.

5. Известно, что $$\sin\alpha-\sin\beta=\frac14; \quad \cos3\alpha+\sin3\alpha=-\frac{11}{16}.$$
Найдите наибольшее значение выражения $\sin^2\alpha+\cos^2\beta$.

6. Решите уравнение: $2\sqrt[3]{x+2}-2\sqrt[3]{x-4}=3\sqrt[6]{x^2-2x-8}$. Найдите сумму всех корней уравнения. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.

7. Про натуральные числа $n$, $m$, $k$ и $l$ известно, что $mn=kl=350$. Оказалось, что точки с координатами $(m, n)$ и $(k, l)$ различны, а площадь треугольника с вершинами в данных точках и начале координат минимальна. Вычислите эту площадь.

8. По шоссе в обоих направлениях с одинаковыми интервалами ходят рейсовые автобусы (скорости движения автобусов одинаковы). Пешеход идет по обочине шоссе со скоростью 6 км/ч и замечает, что автобусы навстречу попадаются через каждые 2,8 километра, а автобусы, едущие в том же направлении, в котором он идет, обгоняют его каждые 34,72 минуты. Определите скорость движения автобусов. Ответ выразите в километрах в час. Считаем, что человек и автобусы движутся равномерно.

9. Длина круговой дорожки стадиона равна 400 метров. В разных местах дорожки стоят 13 спортсменов. При этом им разрешается бежать по дорожке только против часовой стрелки. Спортсмены хотят собраться в одном месте дорожки, пробежав суммарно не более $S$ метров. При каком наименьшем $S$ они гарантировано могут это сделать?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Физтех 2022-2023 (математика, 11 класс)
 Сообщение Добавлено: 08 дек 2022, 16:18 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 16 янв 2013, 16:00
Сообщений: 1051
Почему то у меня картинки не отображаются (уже давно). Какую то программу нужно активировать. Какую-не знаю


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Физтех 2022-2023 (математика, 11 класс)
 Сообщение Добавлено: 08 дек 2022, 16:21 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 2037
Откуда: Ставрополь
epimkin писал(а):
Почему то у меня картинки не отображаются (уже давно). Какую то программу нужно активировать. Какую-не знаю


Здравствуйте, Евгений!
Если в Хроме, попробуйте установить вот эти расширения.


Вложения:
jVMIhtcDA-5nSMrEpO1hxisWm_1Zd1_aAPmTgN3Rz-SREPD460fsuKeG9_9WNIoNkLmnJ8MuAeLzXx0aXO2Q2Xf-.jpg
jVMIhtcDA-5nSMrEpO1hxisWm_1Zd1_aAPmTgN3Rz-SREPD460fsuKeG9_9WNIoNkLmnJ8MuAeLzXx0aXO2Q2Xf-.jpg [ 13.58 KIB | Просмотров: 1357 ]
Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Физтех 2022-2023 (математика, 11 класс)
 Сообщение Добавлено: 08 дек 2022, 18:19 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6791
Откуда: Москва
Подробности:
Kirill Kolokolcev писал(а):
Недавно завершился отборочный этап Физтеха. Предлагаю решить несколько задач оттуда.

1. Последовательность $\{a_n\}$ такова, что $a_1=8866411$, а для любого натурального значения $n$ справедливо соотношение
$$a_1+a_2+\ldots+a_n=\frac{n(3n-2)(3n+5)a_n}8.$$
Найдите $a_{508}$.

2. Найдите количество различных значений функции
$$f(x)=[15x]+[21x]+[35x]+[45x]+\left[\frac{4x}3\right]$$
на отрезке $x\in[0; 75]$. (Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ - наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1,7]=1$, $[-1,7]=-2$.)

3. Найдите сумму квадратов всех решений уравнения $x^2-10[5x]-51=0$. (Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ - наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1,7]=1$, $[-1,7]=-2$.)

4. По шоссе в обоих направлениях с одинаковыми интервалами ходят рейсовые автобусы (скорости движения автобусов одинаковы). Пешеход идёт по обочине шоссе со скоростью 6 км/ч и замечает, что автобусы навстречу попадаются через каждые 2,8 километра, а автобусы, едущие в том же направлении, в котором он идёт, обгоняют его каждые 34,72 минуты. Определите скорость движения автобусов. Ответ выразите в километрах в час. Считаем, что человек и автобусы движутся равномерно.

5. Известно, что $$\sin\alpha-\sin\beta=\frac14; \quad \cos3\alpha+\sin3\alpha=-\frac{11}{16}.$$
Найдите наибольшее значение выражения $\sin^2\alpha+\cos^2\beta$.

6. Решите уравнение: $2\sqrt[3]{x+2}-2\sqrt[3]{x-4}=3\sqrt[6]{x^2-2x-8}$. Найдите сумму всех корней уравнения. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.

7. Про натуральные числа $n$, $m$, $k$ и $l$ известно, что $mn=kl=350$. Оказалось, что точки с координатами $(m, n)$ и $(k, l)$ различны, а площадь треугольника с вершинами в данных точках и начале координат минимальна. Вычислите эту площадь.

8. По шоссе в обоих направлениях с одинаковыми интервалами ходят рейсовые автобусы (скорости движения автобусов одинаковы). Пешеход идет по обочине шоссе со скоростью 6 км/ч и замечает, что автобусы навстречу попадаются через каждые 2,8 километра, а автобусы, едущие в том же направлении, в котором он идет, обгоняют его каждые 34,72 минуты. Определите скорость движения автобусов. Ответ выразите в километрах в час. Считаем, что человек и автобусы движутся равномерно.

9. Длина круговой дорожки стадиона равна 400 метров. В разных местах дорожки стоят 13 спортсменов. При этом им разрешается бежать по дорожке только против часовой стрелки. Спортсмены хотят собраться в одном месте дорожки, пробежав суммарно не более $S$ метров. При каком наименьшем $S$ они гарантировано могут это сделать?

6. Решите уравнение: `2\root(3)(x+2)-2\root[3]{x-4}=3\root[6]{x^2-2x-8}`. Найдите сумму всех корней уравнения. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Подробности:
Вложение:

Подробности:
Вложение:
Правила набора формул 1.pdf [1.48 MIB]
Скачиваний: 598

Подробности:
Вложение:
Правила набора формул 2.pdf [1.24 MIB]
Скачиваний: 566

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Физтех 2022-2023 (математика, 11 класс)
 Сообщение Добавлено: 08 дек 2022, 18:59 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49
Сообщений: 6791
Откуда: Москва
Если установить в Google Chrome расширение TeX All the Things, то текст,

набранный Kirill Kolokolcev, читается правильно. При этом не все формулы

набранные по "Правилам набора формул" правильно преобразуются (и

наоборот). При установке расширения Math Anywhere в Google Chrome

оба варианта набора формул у меня читаются правильно.

_________________
Никуда не тороплюсь!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: