Зарегистрирован: 08 май 2015, 03:53 Сообщений: 1625 Откуда: Москва
Недавно завершился отборочный этап Физтеха. Предлагаю решить несколько задач оттуда.
1. Последовательность $\{a_n\}$ такова, что $a_1=8866411$, а для любого натурального значения $n$ справедливо соотношение $$a_1+a_2+\ldots+a_n=\frac{n(3n-2)(3n+5)a_n}8.$$ Найдите $a_{508}$.
2. Найдите количество различных значений функции $$f(x)=[15x]+[21x]+[35x]+[45x]+\left[\frac{4x}3\right]$$ на отрезке $x\in[0; 75]$. (Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ - наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1,7]=1$, $[-1,7]=-2$.)
3. Найдите сумму квадратов всех решений уравнения $x^2-10[5x]-51=0$. (Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ - наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1,7]=1$, $[-1,7]=-2$.)
4. По шоссе в обоих направлениях с одинаковыми интервалами ходят рейсовые автобусы (скорости движения автобусов одинаковы). Пешеход идёт по обочине шоссе со скоростью 6 км/ч и замечает, что автобусы навстречу попадаются через каждые 2,8 километра, а автобусы, едущие в том же направлении, в котором он идёт, обгоняют его каждые 34,72 минуты. Определите скорость движения автобусов. Ответ выразите в километрах в час. Считаем, что человек и автобусы движутся равномерно.
5. Известно, что $$\sin\alpha-\sin\beta=\frac14; \quad \cos3\alpha+\sin3\alpha=-\frac{11}{16}.$$ Найдите наибольшее значение выражения $\sin^2\alpha+\cos^2\beta$.
6. Решите уравнение: $2\sqrt[3]{x+2}-2\sqrt[3]{x-4}=3\sqrt[6]{x^2-2x-8}$. Найдите сумму всех корней уравнения. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.
7. Про натуральные числа $n$, $m$, $k$ и $l$ известно, что $mn=kl=350$. Оказалось, что точки с координатами $(m, n)$ и $(k, l)$ различны, а площадь треугольника с вершинами в данных точках и начале координат минимальна. Вычислите эту площадь.
8. По шоссе в обоих направлениях с одинаковыми интервалами ходят рейсовые автобусы (скорости движения автобусов одинаковы). Пешеход идет по обочине шоссе со скоростью 6 км/ч и замечает, что автобусы навстречу попадаются через каждые 2,8 километра, а автобусы, едущие в том же направлении, в котором он идет, обгоняют его каждые 34,72 минуты. Определите скорость движения автобусов. Ответ выразите в километрах в час. Считаем, что человек и автобусы движутся равномерно.
9. Длина круговой дорожки стадиона равна 400 метров. В разных местах дорожки стоят 13 спортсменов. При этом им разрешается бежать по дорожке только против часовой стрелки. Спортсмены хотят собраться в одном месте дорожки, пробежав суммарно не более $S$ метров. При каком наименьшем $S$ они гарантировано могут это сделать?
Зарегистрирован: 09 апр 2011, 14:49 Сообщений: 6791 Откуда: Москва
Подробности:
Kirill Kolokolcev писал(а):
Недавно завершился отборочный этап Физтеха. Предлагаю решить несколько задач оттуда.
1. Последовательность $\{a_n\}$ такова, что $a_1=8866411$, а для любого натурального значения $n$ справедливо соотношение $$a_1+a_2+\ldots+a_n=\frac{n(3n-2)(3n+5)a_n}8.$$ Найдите $a_{508}$.
2. Найдите количество различных значений функции $$f(x)=[15x]+[21x]+[35x]+[45x]+\left[\frac{4x}3\right]$$ на отрезке $x\in[0; 75]$. (Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ - наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1,7]=1$, $[-1,7]=-2$.)
3. Найдите сумму квадратов всех решений уравнения $x^2-10[5x]-51=0$. (Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$ - наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Например, $[1,7]=1$, $[-1,7]=-2$.)
4. По шоссе в обоих направлениях с одинаковыми интервалами ходят рейсовые автобусы (скорости движения автобусов одинаковы). Пешеход идёт по обочине шоссе со скоростью 6 км/ч и замечает, что автобусы навстречу попадаются через каждые 2,8 километра, а автобусы, едущие в том же направлении, в котором он идёт, обгоняют его каждые 34,72 минуты. Определите скорость движения автобусов. Ответ выразите в километрах в час. Считаем, что человек и автобусы движутся равномерно.
5. Известно, что $$\sin\alpha-\sin\beta=\frac14; \quad \cos3\alpha+\sin3\alpha=-\frac{11}{16}.$$ Найдите наибольшее значение выражения $\sin^2\alpha+\cos^2\beta$.
6. Решите уравнение: $2\sqrt[3]{x+2}-2\sqrt[3]{x-4}=3\sqrt[6]{x^2-2x-8}$. Найдите сумму всех корней уравнения. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.
7. Про натуральные числа $n$, $m$, $k$ и $l$ известно, что $mn=kl=350$. Оказалось, что точки с координатами $(m, n)$ и $(k, l)$ различны, а площадь треугольника с вершинами в данных точках и начале координат минимальна. Вычислите эту площадь.
8. По шоссе в обоих направлениях с одинаковыми интервалами ходят рейсовые автобусы (скорости движения автобусов одинаковы). Пешеход идет по обочине шоссе со скоростью 6 км/ч и замечает, что автобусы навстречу попадаются через каждые 2,8 километра, а автобусы, едущие в том же направлении, в котором он идет, обгоняют его каждые 34,72 минуты. Определите скорость движения автобусов. Ответ выразите в километрах в час. Считаем, что человек и автобусы движутся равномерно.
9. Длина круговой дорожки стадиона равна 400 метров. В разных местах дорожки стоят 13 спортсменов. При этом им разрешается бежать по дорожке только против часовой стрелки. Спортсмены хотят собраться в одном месте дорожки, пробежав суммарно не более $S$ метров. При каком наименьшем $S$ они гарантировано могут это сделать?
6. Решите уравнение: `2\root(3)(x+2)-2\root[3]{x-4}=3\root[6]{x^2-2x-8}`. Найдите сумму всех корней уравнения. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения