Добрый день! Подскажите, пожалуйста, идею в пункте б. Я понимаю, что 111=3*37 и, скорее всего, нужно как-то применять делимость на 3.

У меня появилась такая идея.
Назовем число 1234...99100 - исходное и посчитаем сумму его цифр следующим образом:
1+2+...+9=45;
10+11+...+29=55;
- - - - - - - - - - - -
90+91+...+99=135.
Получаем: 45+55+65+...+135+1+0+0=(45+135)/2*10+1=901.

Заметим, когда число, кратное 3, представимо в виде суммы каких-то чисел, то если убрать знаки "+", то образуется число тоже кратное 3.
36=17+19=28+8=13+23 (числа 1719, 288, 1323 кратны 3).

Так как сумма S должна делиться на 111, то она делится на 3. Тогда т исходное число делится на 3, что неверно, так как сумма его цифр не делится на 3 (901 не делится на 3). Противоречие.

Такие рассуждения верные?

В пункте а) получил: 12+34+5+6=57
в) n=7. Пример: 123+45+6+7=181. Делал перебор снизу.

Здравствуйте! Я плохо умею решать задачи 18, но поскольку других ответов нет, то попробую высказать свои мысли.
1. В условии видимо опечатка. Имеется в виду, что сумма чисел равна S, а не сумма цифр.
И в вашем решении опечатка: во второй сумме имеется в виду число 19, а не 29.
2. В пункте б) мне кажется рассуждать так можно, но надо доказать ваше утверждение про кратность 3. Надо сослаться на какие-нибудь теоремы, а не просто привести примеры. Тоже надо сделать и в пункте в) относительно n=7. Насколько я понял ваше доказательство строится на перечислении всех возможных вариантов. Так, конечно, можно делать, но многовато вариантов получается.
3. Я покопался в интернете и нашел такие теоремы:
(a+b) mod n = (a mod n +b mod n) mod n
Остаток от деления на 3 числа равен остатку от деления на 3 суммы его цифр
Соединяя эти две теоремы, получаем:
(a1 + ... + am) mod 3 = (a1 mod 3 + ... + am mod 3) mod 3 =
= ((сумма цифр числа 1) mod 3 + ... + (сумма цифр числа m) mod 3) mod 3 =
= (сумма цифр числа 1 + ... + сумма цифр числа m) mod 3 = (сумма цифр исходного числа 123...n) mod 3
Таким образом, остаток от деления суммы чисел на 3 зависит только от составляющих их цифр и не зависит от
способа расстановки знаков +. Поскольку цифры всегда одни и те же, то и остаток для любой суммы чисел один и тот же. Этот остаток удобнее посчитать, поставив плюсы между выписываемыми натуральными числами, т.е. найдя сумму натуральных чисел от 1 до 100: s = 5050. Остаток от деления на 3 для любой суммы равен 1, а, следовательно, никакая s не делится на 3 и на 111. Эти выводы можно использовать в пункте в). Так как остаток от деления на 3 для s=181 равен 1, то остаток от деления на 3 суммы используемых цифр тоже должен быть равен 1. Это могут быть следующие варианты: 1; 1234; 1234567; ... Легко проверить, что первые два варианта не подходят, а для третьего Вы пример привели.

Спасибо Вам!