Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Решение задач




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Заочная олимпиада НИЯУ МИФИ.10 классы
 Сообщение Добавлено: 27 фев 2011, 15:51 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 ноя 2010, 16:39
Сообщений: 1441
Откуда: Омск-Москва
Вложение:
10-klass olimpiada mifi.pdf [148.69 KIB]
Скачиваний: 1275

_________________
Нерешаемых задач не бывает...
Безвыходных ситуаций не бывает...
К победе!


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Заочная олимпиада НИЯУ МИФИ.10 классы
 Сообщение Добавлено: 01 мар 2011, 20:25 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 31 янв 2011, 17:37
Сообщений: 4974
Откуда: Санкт-Петербург
На форуме была решена задача 5 http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=4&t=890

_________________
Сопротивление бесполезно.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Заочная олимпиада НИЯУ МИФИ.10 классы
 Сообщение Добавлено: 02 мар 2011, 08:55 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 14:29
Сообщений: 2324
Откуда: Саранск
Если надо,можно и решения других задач написать.

_________________
Эмоции - это не аргумент


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Заочная олимпиада НИЯУ МИФИ.10 классы
 Сообщение Добавлено: 02 мар 2011, 13:14 
Не в сети

Зарегистрирован: 14 июн 2010, 12:35
Сообщений: 6126
Откуда: Воронеж
МИФИ. Задача 5, вариант 2.
Докажите, что кривая `x^4+2011x^3y-6x^2y^2-2011xy^3+y^4=0` делит единичную окружность на 8 равных дуг.

Решение.
Подробности:
Пусть `(x;y)` - точка пересечения кривой и окружности. Тогда `x=sinalpha`, `y=cosalpha`;
`sin^4alpha+2011sin^3alpha*cosalpha-6sin^2alpha*cos^2alpha-2011sinalpha*cos^3alpha+cos^4alpha=0`,
`tg^4alpha+2011tg^3alpha-6tg^2alpha-2011tgalpha+1=0`,
`tg^2alpha+2011tgalpha-6-2011/(tgalpha)+1/(tg^2alpha)=0`.(1)
Пусть `a=tgalpha-1/(tgalpha)`, тогда `tg^2alpha+1/(tg^2alpha)=a^2+2`, уравнение (1) примет вид: `a^2+2011a-4=0`. При любом `a` оно имеет корни `b` и `-4/b`.
Если `tgalpha-1/(tgalpha)=b`, то `tg2alpha=-2/b`, `alpha=-1/2arctg2/b+(pin)/2`;
если `tgalpha-1/(tgalpha)=-4/b`, то `tg2alpha=b/2`, `alpha=1/2arctgb/2+(pin)/2`, `n``inZ`.
Нанеся найденные точки на единичную окружность, увидим, что окружность оказалась разбита на 8 дуг.
Эти дуги равны между собой, что следует из равенств
`|-1/2arctg2/b- 1/2arctgb/2|=1/2*|arctg2/b+arctgb/2|=1/2*pi/2=pi/4`.
Задачка какбэ решена.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Заочная олимпиада НИЯУ МИФИ.10 классы
 Сообщение Добавлено: 02 мар 2011, 13:49 
Не в сети

Зарегистрирован: 12 ноя 2010, 16:39
Сообщений: 1441
Откуда: Омск-Москва
uStas писал(а):
МИФИ. Задача 5, вариант 2.
Докажите, что кривая `x^4+2011x^3y-6x^2y^2-2011xy^3+y^4=0` делит единичную окружность на 8 равных дуг.

Решение.
Подробности:
Пусть `(x;y)` - точка пересечения кривой и окружности. Тогда `x=sinalpha`, `y=cosalpha`;
`sin^4alpha+2011sin^3alpha*cosalpha-6sin^2alpha*cos^2alpha-2011sinalpha*cos^3alpha+cos^4alpha=0`,
`tg^4alpha+2011tg^3alpha-6tg^2alpha-2011tgalpha+1=0`,
`tg^2alpha+2011tgalpha-6-2011/(tgalpha)+1/(tg^2alpha)=0`.(1)
Пусть `a=tgalpha-1/(tgalpha)`, тогда `tg^2alpha+1/(tg^2alpha)=a^2+2`, уравнение (1) примет вид: `a^2+2011a-4=0`. При любом `a` оно имеет корни `b` и `-4/b`.
Если `tgalpha-1/(tgalpha)=b`, то `tg2alpha=-2/b`, `alpha=-1/2arctg2/b+(pin)/2`;
если `tgalpha-1/(tgalpha)=-4/b`, то `tg2alpha=b/2`, `alpha=1/2arctgb/2+(pin)/2`, `n``inZ`.
Нанеся найденные точки на единичную окружность, увидим, что окружность оказалась разбита на 8 дуг.
Эти дуги равны между собой, что следует из равенств
`|-1/2arctg2/b- 1/2arctgb/2|=1/2*|arctg2/b+arctgb/2|=1/2*pi/2=pi/4`.
Задачка какбэ решена.

Решение авторов
Подробности:
Вложение:
ravtorov.JPG
ravtorov.JPG [ 85.92 KIB | Просмотров: 5279 ]

_________________
Нерешаемых задач не бывает...
Безвыходных ситуаций не бывает...
К победе!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: hpbhpb и гости: 4

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: