Зарегистрирован: 14 июн 2010, 12:35 Сообщений: 6126 Откуда: Воронеж
МИФИ. Задача 5, вариант 2. Докажите, что кривая `x^4+2011x^3y-6x^2y^2-2011xy^3+y^4=0` делит единичную окружность на 8 равных дуг.
Решение.
Подробности:
Пусть `(x;y)` - точка пересечения кривой и окружности. Тогда `x=sinalpha`, `y=cosalpha`; `sin^4alpha+2011sin^3alpha*cosalpha-6sin^2alpha*cos^2alpha-2011sinalpha*cos^3alpha+cos^4alpha=0`, `tg^4alpha+2011tg^3alpha-6tg^2alpha-2011tgalpha+1=0`, `tg^2alpha+2011tgalpha-6-2011/(tgalpha)+1/(tg^2alpha)=0`.(1) Пусть `a=tgalpha-1/(tgalpha)`, тогда `tg^2alpha+1/(tg^2alpha)=a^2+2`, уравнение (1) примет вид: `a^2+2011a-4=0`. При любом `a` оно имеет корни `b` и `-4/b`. Если `tgalpha-1/(tgalpha)=b`, то `tg2alpha=-2/b`, `alpha=-1/2arctg2/b+(pin)/2`; если `tgalpha-1/(tgalpha)=-4/b`, то `tg2alpha=b/2`, `alpha=1/2arctgb/2+(pin)/2`, `n``inZ`. Нанеся найденные точки на единичную окружность, увидим, что окружность оказалась разбита на 8 дуг. Эти дуги равны между собой, что следует из равенств `|-1/2arctg2/b- 1/2arctgb/2|=1/2*|arctg2/b+arctgb/2|=1/2*pi/2=pi/4`. Задачка какбэ решена.
МИФИ. Задача 5, вариант 2. Докажите, что кривая `x^4+2011x^3y-6x^2y^2-2011xy^3+y^4=0` делит единичную окружность на 8 равных дуг.
Решение.
Подробности:
Пусть `(x;y)` - точка пересечения кривой и окружности. Тогда `x=sinalpha`, `y=cosalpha`; `sin^4alpha+2011sin^3alpha*cosalpha-6sin^2alpha*cos^2alpha-2011sinalpha*cos^3alpha+cos^4alpha=0`, `tg^4alpha+2011tg^3alpha-6tg^2alpha-2011tgalpha+1=0`, `tg^2alpha+2011tgalpha-6-2011/(tgalpha)+1/(tg^2alpha)=0`.(1) Пусть `a=tgalpha-1/(tgalpha)`, тогда `tg^2alpha+1/(tg^2alpha)=a^2+2`, уравнение (1) примет вид: `a^2+2011a-4=0`. При любом `a` оно имеет корни `b` и `-4/b`. Если `tgalpha-1/(tgalpha)=b`, то `tg2alpha=-2/b`, `alpha=-1/2arctg2/b+(pin)/2`; если `tgalpha-1/(tgalpha)=-4/b`, то `tg2alpha=b/2`, `alpha=1/2arctgb/2+(pin)/2`, `n``inZ`. Нанеся найденные точки на единичную окружность, увидим, что окружность оказалась разбита на 8 дуг. Эти дуги равны между собой, что следует из равенств `|-1/2arctg2/b- 1/2arctgb/2|=1/2*|arctg2/b+arctgb/2|=1/2*pi/2=pi/4`. Задачка какбэ решена.
Решение авторов
Подробности:
Вложение:
ravtorov.JPG [ 85.92 KIB | Просмотров: 5756 ]
_________________ Нерешаемых задач не бывает... Безвыходных ситуаций не бывает... К победе!
Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и гости: 31
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения