Регистрация    Вход    Форум    Поиск    FAQ   alexlarin.net

Список форумов » Олимпиады




 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ] 



Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Задача из вьетнамской олимпиады.
 Сообщение Добавлено: 12 мар 2022, 20:16 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 июл 2012, 21:02
Сообщений: 5
Здравствуйте, уважаемые участники форума, дайте, пожалуйста, идею для решения задачи.
a+b+c=2022
1/a + 1/b + 1/c = 1/2023;
Чему равно выражение 1/(а в степени 2023) +1/(b в степени 2023) +1/(с в степени 2023) ?
Если переменную а выразить через b и с, подставить во второе выражение, то получается громозкая дробь со сложной конструкцией. У меня не получились грамотно разложить и сократить. Прошу помощи.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача из вьетнамской олимпиады.
 Сообщение Добавлено: 12 мар 2022, 21:26 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 1456
Откуда: Ставрополь
Юсупова Светлана писал(а):
Здравствуйте, уважаемые участники форума, дайте, пожалуйста, идею для решения задачи.
a+b+c=2022
1/a + 1/b + 1/c = 1/2023;
Чему равно выражение 1/(а в степени 2023) +1/(b в степени 2023) +1/(с в степени 2023) ?
Если переменную а выразить через b и с, подставить во второе выражение, то получается громозкая дробь со сложной конструкцией. У меня не получились грамотно разложить и сократить. Прошу помощи.


Я думаю, эту задачу (при этих числовых данных) решить невозможно даже с помощью матпакета. Если и возможно, то ответ будет содержать выражение, зависящее от одной переменной (например, от переменной `c`), что на него будет страшно смотреть.
Даже для выражения `x=1/a^3+1/b^3+1/c^3` уже немного страшно:

`x = (c^3+2022c^2-6669c+12277587)/(8279186167c^2(c-2022)).

А для 2023-й степени я боюсь даже представить, что там будет.


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача из вьетнамской олимпиады.
 Сообщение Добавлено: 13 мар 2022, 08:35 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 июл 2012, 21:02
Сообщений: 5
Не получилось*, громоздкий*
Спасибо


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача из вьетнамской олимпиады.
 Сообщение Добавлено: 13 мар 2022, 08:47 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 1456
Откуда: Ставрополь
Юсупова Светлана писал(а):
Не получилось*, громоздкий*
Спасибо


Да пока что не за что.
Понятно же, что в условии ошибка.
Если уточните условие, попробуем уже решить с новым условием (например, "2022" вместо "2023" во втором уравнении).


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача из вьетнамской олимпиады.
 Сообщение Добавлено: 13 мар 2022, 10:01 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 июл 2012, 21:02
Сообщений: 5
Ой, правда, какая я невнимательная ;;)
а+b+c=2022;
1/a + 1/b + 1/c=1/2022;
1/(a в степени 2023) +1/(b в степени 2023) +1/(c в степени 2023) - ?


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача из вьетнамской олимпиады.
 Сообщение Добавлено: 13 мар 2022, 10:39 
Не в сети
Аватар пользователя

Зарегистрирован: 18 ноя 2015, 07:49
Сообщений: 1456
Откуда: Ставрополь
Юсупова Светлана писал(а):
Ой, правда, какая я невнимательная ;;)
а+b+c=2022;
1/a + 1/b + 1/c=1/2022;
1/(a в степени 2023) +1/(b в степени 2023) +1/(c в степени 2023) - ?


Подробности:
Пусть `a`, `b`, `c` - корни кубического уравнения `x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0=0`.

Согласно условию по теореме Виета имеем:

`a_2=-(a+b+c)=-2022.`

`(a_1)/(a_0)=-(bc+ac+ab)/(abc)=-(1/a+1/b+1/c)=-(1)/(2022) <=>a_0=-2022 a_1.`

Получаем уравнение:

`x^3-2022x^2+a_1 x-2022a_1=0 <=>x^2(x-2022)+a_1(x-2022)=0 <=>(x-2022)(x^2+a_1)=0.`

Один из корней последнего уравнения равен `x=2022`. В то же время `x=a=b=c`. Учитывая, что все уравнения и выражения симметричны, возьмём для определённости `x=c`. Тогда `c=2022.`

Подставляя это значение в первое уравнение, данное в условии, получим:

`a+b+2022=2022<=>b=-a.` При `b=-a` и `c=2022` второе уравнение, данное в условии, является верным.

Находим искомое значение `P`:

`P=(1)/(a^2023)+(1)/(b^2023)+(1)/(c^2023)=(1)/(a^2023)-(1)/(a^2023)+(1)/(2022^2023)=2022^(-2023).`

Ответ: `2022^(-2023).`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача из вьетнамской олимпиады.
 Сообщение Добавлено: 13 мар 2022, 11:12 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 июл 2012, 21:02
Сообщений: 5
hpbhpb писал(а):
Юсупова Светлана писал(а):
Ой, правда, какая я невнимательная ;;)
а+b+c=2022;
1/a + 1/b + 1/c=1/2022;
1/(a в степени 2023) +1/(b в степени 2023) +1/(c в степени 2023) - ?


Подробности:
Пусть `a`, `b`, `c` - корни кубического уравнения `x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0=0`.

Согласно условию по теореме Виета имеем:

`a_2=-(a+b+c)=-2022.`

`(a_1)/(a_0)=-(bc+ac+ab)/(abc)=-(1/a+1/b+1/c)=-(1)/(2022) <=>a_0=-2022 a_1.`

Получаем уравнение:

`x^3-2022x^2+a_1 x-2022a_1=0 <=>x^2(x-2022)+a_1(x-2022)=0 <=>(x-2022)(x^2+a_1)=0.`

Один из корней последнего уравнения равен `x=2022`. В то же время `x=a=b=c`. Учитывая, что все уравнения и выражения симметричны, возьмём для определённости `x=c`. Тогда `c=2022.`

Подставляя это значение в первое уравнение, данное в условии, получим:

`a+b+2022=2022<=>b=-a.` При `b=-a` и `c=2022` второе уравнение, данное в условии, является верным.

Находим искомое значение `P`:

`P=(1)/(a^2023)+(1)/(b^2023)+(1)/(c^2023)=(1)/(a^2023)-(1)/(a^2023)+(1)/(2022^2023)=2022^(-2023).`

Ответ: `2022^(-2023).`


Вернуться наверх 
 Заголовок сообщения: Re: Задача из вьетнамской олимпиады.
 Сообщение Добавлено: 13 мар 2022, 11:21 
Не в сети

Зарегистрирован: 20 июл 2012, 21:02
Сообщений: 5
Спасибо Вам большое!


Вернуться наверх 
Показать сообщения за:  Сортировать по:  
 
 Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ] 





Кто сейчас на форуме

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

 
 

 
Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти: