Мак Сим писал(а):
alex123, согласен. У меня был самый первый и черновой набросок. Просто чтоб показать, что решение есть и как до него можно догадаться.
То, что найденное оказалось решением - это просто везение.
Итого:
1. если решение есть - то это только корень из двух.
2. доказываем монотонность и ограниченность (сверху числом 2) нашей последовательности --> она сходится к чему-то <=2.
3. исследуем функцию a^(1/a) - убеждаемся, что она равна корню из двух только в точках 2 и 4.
4. замечаем, что предел нашей "башни" может быть равен только 2 или 4, согласно п.2 он равен 2.
А вообще полезно решить это уравнение для произвольной правой части - не намного сложнее, чем частный случай, зато избавляет от проблем с доказательством ограниченности в пункте 2 для чисел, более "проблемных", чем 2.
Заодно, сразу станет понятно, когда корни есть, а когда их нет.