Математика. Подготовка к ЕГЭ. Решение задач.
https://www.alexlarin.com/

Тренировочный вариант №308 (усложненная версия)
https://www.alexlarin.com/viewtopic.php?f=961&t=17513		 Страница 2 из 2
Автор:  Владимiръ [ 16 янв 2022, 08:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тренировочный вариант №308 (усложненная версия)
Задача 23
Подробности:


Вложения:
Задача 308у-23.pdf [79.52 KIB]
Скачиваний: 336
Автор:  Владимiръ [ 16 янв 2022, 08:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тренировочный вариант №308 (усложненная версия)
Задача 24
Подробности:


Вложения:
Задача 308у-24.pdf [87.63 KIB]
Скачиваний: 346
Автор:  OlG [ 17 янв 2022, 17:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тренировочный вариант №308 (усложненная версия)
`qquad` №7. Два.
Подробности:
`qquad` Пусть `a, quad b, quad c quad – quad` действительные положительные числа. Причём `a^5+b^5+c^5=ab^2+bc^2+ca^2.`

`qquad` Найдите наименьшее значение выражения: `1/(ab+bc+ca)*((a^2+b^2)/b+(b^2+c^2)/c+(c^2+a^2)/a).`

`qquad` 1. `quad` Поскольку`quad (a^2/b+b^2/c+c^2/a)(b^5+c^5+a^5)(ab^2+bc^2+ca^2) ge (root(3)(a^2/b*b^5*ab^2)+root(3)(b^2/c*c^5*ca^2)+root(3)(c^2/a*a^5*ca^2))^3 quad,`

`qquad quad` или можно проще `quad (a^2/b+b^2/c+c^2/a)(b^5+c^5+a^5) ge (sqrt(a^2/b*b^5)+(sqrt(b^2/c*c^5)+(sqrt(c^2/a*a^5))^2 quad,` то в обоих случаях

`qquad quad` получаем `quad a^2/b+b^2/c+c^2/a ge ab^2+bc^2+ca^2 quad.`

`qquad` 2. `quad 1/(ab+bc+ca)*((a^2+b^2)/b+(b^2+c^2)/c+(c^2+a^2)/a) ge ((a^2b+b)+(b^2c+c)+(c^2a+a))/(ab+bc+ca) ge (2(ab+bc+ca))/(ab+bc+ca)=2.`

`qquad` 3. `quad` Наименьшее значение `quad 2 quad`достигается при `quad a=b=c=1.`

Подробности:
Вложение:
№7 Два 308.pdf [67.79 KIB]
Скачиваний: 274
Автор:  OlG [ 18 янв 2022, 01:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тренировочный вариант №308 (усложненная версия)
`qquad` №7. Три.
Подробности:
`qquad` Пусть `a, quad b, quad c quad – quad` действительные положительные числа. Причём `a^5+b^5+c^5=ab^2+bc^2+ca^2.`

`qquad` Найдите наименьшее значение выражения: `1/(ab+bc+ca)*((a^2+b^2)/b+(b^2+c^2)/c+(c^2+a^2)/a).`

`qquad` 1. `quad` Поскольку`quad (a+b+c)(a^5+b^5+c^5) ge (sqrt(a*a^5)+sqrt(b*b^5)+sqrt(c*c^5))^2 ge (a^3+b^3+c^3)(ab^2+bc^2+ca^2) quad,`

`qquad quad` то получаем `quad a+b+c ge a^3+b^3+c^3 quad.`

`qquad` 2. `quad a+b+c ge sqrt(a+b+c)sqrt(a^3+b^3+c^3) ge sqrt(a*a^3)+sqrt(b*b^3)+sqrt(c*c^3)= a^2+b^2+c^2 geab+bc+ca.`

`qquad` 3. `quad 1/(ab+bc+ca)*((a^2+b^2)/b+(b^2+c^2)/c+(c^2+a^2)/a) ge ((2ab)/b+(2bc)/c+(2ca)/a)/(ab+bc+ca) ge (2(a+b+c))/(ab+bc+ca) ge (2(ab+bc+ca))/(ab+bc+ca)=2.`

`qquad` 4. `quad` Наименьшее значение `quad 2 quad`достигается при `quad a=b=c=1.`

Подробности:
Вложение:
№7 Три 308.pdf [56.98 KIB]
Скачиваний: 261
Автор:  OlG [ 18 янв 2022, 01:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тренировочный вариант №308 (усложненная версия)
`qquad` №7. Четыре.
Подробности:
`qquad` Пусть `a, quad b, quad c quad – quad` действительные положительные числа. Причём `a^5+b^5+c^5=ab^2+bc^2+ca^2.`

`qquad` Найдите наименьшее значение выражения: `1/(ab+bc+ca)*((a^2+b^2)/b+(b^2+c^2)/c+(c^2+a^2)/a).`

`qquad` 1. `quad` Поскольку`quad (a+b+c)(a^5+b^5+c^5) ge (sqrt(a*a^5)+sqrt(b*b^5)+sqrt(c*c^5))^2 ge (a^3+b^3+c^3)(ab^2+bc^2+ca^2) quad,`

`qquad quad` то получаем `quad a+b+c ge a^3+b^3+c^3 quad.`

`qquad` 2. `quad 1/(ab+bc+ca)*((a^2+b^2)/b+(b^2+c^2)/c+(c^2+a^2)/a)=((a^2/b+b)+(b^2/c+c)+(c^2/a+a))/(ab+bc+ca) ge `

`qquad quad ge ((a^2/b+b^3)+(b^2/c+c^3)+(c^2/a+a^3))/(ab+bc+ca) ge (2(ab+bc+ca))/(ab+bc+ca)=2.`

`qquad` 3. `quad` Наименьшее значение `quad 2 quad`достигается при `quad a=b=c=1.`

Подробности:
Вложение:
№7 Четыре 308.pdf [59.84 KIB]
Скачиваний: 242
Автор:  hpbhpb [ 19 янв 2022, 13:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тренировочный вариант №308 (усложненная версия)
№ 22.

Заменяя `b=-\frac{a}{2}`, получим:

`b \ge max{(1)/(3 sqrt(x));quad (1)/(4 sqrt(1-x))}`.

Строим графики в координатной плоскости `OXB` и получаем, что исходное неравенство имеет единственное решение при `b=(5)/(12)`.
Возвращаемся к переменной `a`:

`a=-(5)/(6)`

Ответ: `{-(5)/(6)}`.
Страница 2 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/