Верно ли, что любое делящееся на 6 число, больше 1000, можно представить в виде
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) - m(m+1)(m+2), где n и m натуральные?

Очевидно каждое из слагаемых делится на 6. Дальше не поддаётся (

Ответ:

Указание:

Ну и:

alex123, спасибо за ответ. Вы меня удивили. Но ведь среди трёх подряд идущих натуральных чисел обязательно есть делящееся на три и хотя бы одно чётное. Значит их произведение делится на 6. Ну и уж тем более это верно для 5 подряд идущих.

Буду думать.

Про делимость:

Но там и без делимости проблем хватает. Связанных со скоростью роста степенной функции.

Ну, там степенные функции от разных аргументов, так что на скорости роста проблему не сделаешь. (Если Вы не имели в виду что-то другое.) Остаются только запрещенные остатки при делении на волшебные модули (кратные 5 в данном случае). Маловероятно, что есть какой-то иной способ решения.

Но этих функций всего две. Даже в треугольных числах нужно три, чтобы представить все.

Так что можно, другое дело, что это намного более трудоемко, чем остатки. Так что замечание не про оптимальное решение, а про то, что и в разрешенных остатках тоже мало что представляется.

Если бы там была сумма двух (положительных) функций, я бы понял эти аргументы про плотность. Но мы имеем здесь разность, и они не работают. (Почему маленькая разность невозможна при больших числах? Это просто не объяснишь. Или Вы имели в виду привлечение мощной артиллерии типа оценок линейных форм с логарифмами?) Вот возьмем, например, разность 6 с разрешенным остатком. Как доказать, что она невозможна (что, скорее всего, верно)?

Вспоминается в этой связи классическая задача о возможных значениях разности между точным квадратом и точным кубом. Там ведь без оценок линейных форм с логарифмами не обошлось. Но для школьных задач это запредельные аргументы.

И тут, скорее всего, не обойдется. И да, не школьная это тема.

Просто мне, вам и еще 100500 товарищам очевидно, что это так. Среди этих 100500 вполне могут быть и школьники, а требовать с них доказательство да, негуманно. Но его никто и не требует

Школьник топик-стартер, по всей видимости, был уверен, что этой формой представимы все кратные. И был удивлен, что это не так. Я попробовал направить его интуицию в нужное русло, показав, что есть куча причин, почему это не так. Получилось или нет - понятия не имею.

Не знаю, как кому, а мне, если просят доказать в формулировке "верно или нет", проще сначала правдоподобными соображениями "понять", верно или нет, а потом уже доказывать конкретное утверждение. Даже если в итоге окажется, что "правдоподобные соображения" были неверны, это, обычно, не усугубляет ситуации.

Да, это естественно. А школьник, похоже, действительно думал, что все кратное 6 представимо. Интуиции пока маловато.